已知函数f=log4+kx是偶函数； (Ⅰ)证明：对任意实数b，函数y=f的图象与直线y=-x+b最多只有一个交点； (

题文

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数；
(Ⅰ)证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

x+b最多只有一个交点；
(Ⅱ)若方程f（x）=log₄（a·2^x-

a）有且只有一个解，求实数a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可得：f（x）=-f（-x），
∴

，
∴

，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，
∴

，
由题意可知，只要证明函数

在定义域R上为单调函数即可，
任取

，
则

，


，
∴

，

，
∴

，
∴函数

在R上为单调增函数，
∴对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线

最多只有一个交点。
（Ⅱ）若方程

有且只有一解，
也就是方程

有且只有一个实根，
令

，
问题转化为方程：

有且只有一个正根，
（1）若a=1，则

，不合题意；
（2）若a≠1时，由

或-3，当

时，t=-2不合题意；
当a=-3时，

；
（3）若a≠1时，△＞0，若方程一个正根与一个负根时，则

；
综上：实数a的取值范围是

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log4（4x+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。