题文
已知数列{an}中a1=,an=2﹣
(n≥2,n∈N+),数列{bn},满足bn=
(n∈N+),(1)求证数列 {bn}是等差数列;
(2)若sn=(a1﹣1)(a2﹣1)+(a2﹣1)(a3﹣1)+…+(an﹣1)(a n+1﹣1)是否存在a与b∈Z,使得:a≤sn≤b恒成立.若有,求出a的最大值与b的最小值,如果没有,请说明理由. 题型:未知 难度:其他题型
答案
解:(1)由题意知bn=,
∴bn﹣bn﹣1=
﹣
=1(n∈N*),
∴数列{b n}是首项为b1=
=﹣
,公差为1的等差数列.
(2)依题意有:an﹣1=
Sn=(a1﹣1)(a2﹣1)+(a2﹣1)(a3﹣1)+…+(an﹣1)(a n+1﹣1)=
,
设函数
,则函数在(
,+∞)上为减函数.Sn在[3,+∞)上是递增,且Sn<
,
故当n=3时,且Sn=
,取最小值﹣
.
而函数
在(﹣∞,
)上也为减函数,Sn在(1,2]上是递增,且Sn>
,
故当n=2时,Sn取最大值:S2=
.
故Sn的最大值为
.a的最大值与b的最小值分别为﹣3,2
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说,试题“已知数列{an}中a1=,an=2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。