已知函数：f=．证明：f+f+2=0对定义域内的所有x都成立；当f的定义域为[a+，a+

题文

已知函数：f（x）=

（a∈R且x≠a）．
（1）证明：f（x）+f（2a﹣x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[﹣3，﹣2]；
（3）若a＞

，函数g（x）=x²+|（x﹣a） f（x）|，求g（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵f（x）=

=

﹣1，
∴f（2a﹣x）=

﹣1=﹣

﹣1，
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=

+（﹣

）﹣2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）证明：∵f（x）的定义域为

，
∴﹣1﹣a≤﹣x≤﹣a﹣

，﹣1≤a﹣x≤﹣

，﹣2≤

≤﹣1，
又f（x）=

﹣1，
∴﹣3≤

﹣1≤﹣2，即f（x）的值域为[﹣3，﹣2]．
（3）解：函数g（x）=x²+|x+1﹣a|，（x≠a），
①当x≥a﹣1且x≠a时，g（x）=x²+x+1﹣a=（x+

）²+

﹣a，
当a＞

时，a﹣1＞﹣

，函数在[a﹣1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
②当x≤a﹣1时，g（x）=x²﹣x﹣1+a=（x﹣

）²+a﹣

，
如果a﹣1＞

即a＞

时，g（x）_min=g（

）=a﹣

，
如果a﹣1≤

即a≤

时，g（x）在（﹣∞，a﹣1）上为减函数，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
当a＞

时，（a﹣1）²﹣（a﹣

）=（a﹣

）²＞0，
综合可得，当

＜a≤

时，g（x）的最小值是（a﹣1）²；
当a＞

时，g（x）的最小值是a﹣

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数：f（x）=（a∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。