已知函数y=f，x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f+x2f＞x1f+x2f；②对任意n∈N*都有f[f（

题文

已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意

，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（1）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令

，试证明：

，判断S_n与

的大小（不需要证明） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，
由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数． 
（2）令f（1）=a，则a＞1，显然a≠1，
否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，
即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2． 
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
  f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
 f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54﹣27=81﹣54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68． 
（3）

，

，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴

．
于是

，
显然

，

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x），x∈N*，y.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。