题文
如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：如图所示，
（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；
则AB=2
（其中0＜x＜30），
∴S=2x
=2
≤x2+（900﹣x2）=900，当且仅当x2=900﹣x2，
即x=15
时，S取最大值900；
所以，取BC=
cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，
则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜
）；
∴S=AB●BC=2OB●BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，
即θ=
时，S取最大值为900，此时BC=15
；
所以，取BC=15
时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．
（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，
由AB=2
=2πr，得r=
，
∴V=πr2h=
（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；
由V′=
（900﹣3x2）=0，得x=10
；
因此V=
（900x﹣x3）在
上是增函数，在（10
，30）上是减函数；
∴当x=10
时，V的最大值为
，
即取BC=10
cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为
cm3．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，
则圆柱的底面半径为r=
，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜
），
所以V=πr2h=
cos2θ=
（sinθ﹣sin3θ），
设t=sinθ，则V=
（t﹣t3），
由V′=
（1﹣3t2）=0，得t=
，
因此V=
（t﹣t3）在（0，
）上是增函数，在（
，1）上是减函数；
所以，当t=
时，即sinθ=
，此时BC=10
cm时，V有最大值，为
cm3．
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“如图，在半径为30cm的半圆形（O.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
