某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R=3700x+45x2-10x3，成本函数为C=460x+500

题文

某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+500（单位：万元）．
（1）求利润函数p（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）在经济学中，定义函数f（x）的边际函数Mf（x）=f（x+1）-f（x）．求边际利润函数Mp（x），并求Mp（x）单调递减时x的取值范围；试说明Mp（x）单调递减在本题中的实际意义是什么？（参考公式：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据利润=产值-成本，可得p（x）=R（x）-C（x）=3700x+45x²-10x³-460x-500
=-10x³+45x²+3240x-500，（x∈N^*，1≤x≤20）（3分）
（2）求导函数，可得p′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），（6分）
∴当0＜x＜12时，p′（x）＞0，当x＜12时，p′（x）＜0．
∴x=12时，p（x）有最大值．
即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大．（8分）
（3）∵Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-10（x+1）³+45（x+1）²+3240（x+1）-500-（-10x³+45x²+3240x-500）
=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，（x∈N^*，1≤x≤19）
所以，当x≥1时，Mp（x）单调递减，x的取值范围为[1，19]，且x∈N^*．（11分）
Mp（x）是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．（13分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。