已知函数f=x+x33…+x2m-12m-1，g=x22+x44…+x2n2n，定义域为R，m，n∈N•，h1=c+f-g，h2（

题文

已知函数f（x）=x+x33…+x2m-12m-1，g（x）=x22+x44…+x2n2n，定义域为R，m，n∈N^•，h₁（x）=c+f（x）-g（x），h₂（x）=c-f（x）+g（x）
（1）若n=1，m=2，求h₁（x）的单调区间；若n=2，m=2，求h₂（x）的最小值．
（2）（文科选做）若m=n，c=0时，令T（n）=h₂（1），求T（n）的最大值．
    （理科选做）若m=n，c=0时，令T（n）=h₁（1），求证：T（n）=1n+1+1n+2+…+12n．
（3）若m=n+1，c=1时，F（x）=h₁（x+3）h₂（x-2）且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，求b-a的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=1，m=2，f（x）=x+x33，g（x）=x22，h₁（x）=c+x-x22+x33，
h'（x）=1-x+x²＞0，所以h₁（x）在R上单调增；         （2分）
n=2，m=2，f（x）=x+x33，g（x）=x22+x44，h₂（x）=c-x+x22-x33+x44，
h₂'（x）=-1+x-x²+x³=（x-1）（1+x²），
当x＜1时，h₂'（x）＜0，h₂'（x）单调递减；当x＞1时，h₂'（x）＞0，h₂'（x）单调递增；
故x=1时，h₂'（x）最小值为c-712．                    （5分）
（2）文科：m=n，c=0，
T（n）=h₂（1）=-1+12-13+…-12n-1+12n．
T（n+1）=h₂（1）=-1+12-13+…-12n-1+12n-12n+1+12n+2．
知T（n+1）＜T（n），故n=1时，T（n）最大为-12．
理科：m=n，c=0，T（n）=h₁（1）=1-12+13+…12n-1-12n．
①当n=1时，左边T（1）=1-12=12，右边=12；成立
②假设n=k时成立，则有
T（k）=1-12+13+…12k-1-12k．
T（k+1）=1-12+13+…12k-1-12k+12k+1-12k+2
=T（k）+12k+1-12k+2=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1-12•1k+1
=1k+2+…+12k+12k+1+12k+2．
故当n=k+1时也成立．
综上所述，等式成立．                                           （11分）
（3）m=n+1，c=1，h₁（x）=1+x-x22+x33-…-x2n2n+x2n+12n+1，（13分）
h ′1（x）=1-x+x²-…-x^2n-1+x²ⁿ，
=1+x2n+11+x，x≠-12n+1，x=-1，
当x≥0时，h ′1（x）＞0；当-1＜x＜0时，h ′1（x）＞0；当x＜-1时，h ′1（x）＞0，故函数h ′1（x）为R上的增函数，于是函数f（x）在R上最多只有一个零点．因h₁（0）=1＞0，h₁（-1）=（1-1）+（-12+13）+…+（-12n+12n+1）＜0，故h₁（0）h₁（-1）＜0，
因而h₁（x）在R上唯一零点在区间（-1，0）上，（15分）
于是h₁（x+2）的唯一零点在区间（-3，-2）上．
同理可得，函数h₂（x）为R上的减函数，于是函数h₂（x）在R上最多只有一个零点．
又h₂（1）=（1-1）+（12-13）+…+（12n-12n+1）＞0，
h₂（2）=（1-2）+2²（12-23）+2⁴（14-25）+…+2²ⁿ（12n-22n+1）＜0，于是h₂（1）h₂（2）＜0，因而h₂（x）在R上唯一零点在区间（1，2）上，于是h₂（x-2）的唯一零点在区间（3，4）上．
所以，F（x）的两零点落在区间[-3，4]上，b-a的最小值为7．       （18分）

解析

x33

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+x33…+x2m-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。