已知函数f(x)=log4(4x-1)判断f的单调性，说明理由．解方程f=f-1．

题文

已知函数f(x)=log4(4x-1)
（1）判断f（x）的单调性，说明理由．
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．
证法一：设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=log4(4x1-1)-log4(4x2-1)=log44x1-14x2-1
又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1
∴4x1-14x2-1＜1，即log44x1-14x2-1＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上单调增．…5分
证法二：∵y=log₄x在（0，+∞）上都是增函数，…2分
y=4^x-1在（0，+∞）上是增函数且y=4^x-1＞0…4分
∴f(x)=log4(4x-1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分
（2）f-1(x)=log4(4x+1)，
∴f（2x）=f^-1（x），即0＜4^2x-1=4^x+14^2x-4^x-2=0，解得4^x=-1（舍去）或4^x=2，
∴x=log42=12…9分
经检验，x=12是方程的根． …10分．

解析

4x1-14x2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log4(4x-1)（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。