题文
设a＞0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数．（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即1aex+aex=exa+aex∴(a-1a)(ex-1ex)=0对一切x∈R成立，则a-1a=0，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+1ex1-1ex2
=(ex2-ex1)(1ex1+x2-1)=ex1(ex2-x1-1)1-ex2+x1ex2+x1，
由x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
得x1+x2＞0，ex2-x1-1＞0，
得1-ex2+x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
解析
1aex考点
据考高分专家说，试题“设a＞0，f(x)=exa+aex是R上.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
