已知f是定义在[-1，1]上的奇函数．当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．判断函f的单调性，并证明；（

题文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．
（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m²-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数
证明：设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，在f(a)+f(b)a+b＞0中，令a=x₁，b=-x₂，有f(x1)+f(-x2)x1-x2＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），∴f(x1)-f(x2)x1-x2＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1  且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，
应有m²-2bm+1≥1⇒m²-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m²，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m²是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（1）=-2m+m²≥0⇒m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]_最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m²是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（-1）=2m+m²≥0⇒m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

解析

f(a)+f(b)a+b

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。