题文
设a为实数，设函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（Ⅰ）设t=1+x+1-x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）t=1+x+1-x要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2+21-x2∈[2，4]，t≥0①
t的取值范围是[2，2].
由①得1-x2=12t2-1
∴m（t）=a（12t2-1）+t=12at2+t-a，t∈[2，2]
（II）由题意知g（a）即为函数m(t)=12at2+t-a，t∈[2，2]的最大值．
注意到直线t=-1a是抛物线m(t)=12at2+t-a的对称轴，
分以下几种情况讨论．
（1）当a＞0时，函数y=m（t），t∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-1a＜0知m（t）在[2，2].上单调递增，
∴g（a）=m（2）=a+2
（2）当a=0时，m（t）=t，t∈[2，2]，
∴g（a）=2．
（3）当a＜0时，函数y=m（t），t∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-1a∈[0，2]，即a≤-22则g(a)=m(2)=2
若t=-1a∈(2，2]，即-22＜a≤-12则g(a)=m(-1a)=-a-12a
若t=-1a∈(2，+∞)，即-12＜a＜0则g（a）=m（2）=a+2
综上有g(a)=a+2 a＞-12-a-12a-22＜a＜ -122a≤-22
（III）情形1：当a＜-2时1a＞-12，
此时g(a)=2，g(1a)=1a+2
由2+1a=2解得a=-1-22，与a＜-2矛盾．
情形2：当-2≤a＜-2，-22＜1a≤-12时，
此时g(a)=2，g(1a)=-1a-a22=-1a-a2
解得，a=-2与a＜-2矛盾．
情形3：当-2≤a≤-22，-2≤1a≤-22时，
此时g(a)=2=g(1a)
所以-2≤a≤-22，
情形4：当-22＜a≤-12时，-2≤1a＜-2，
此时g(a)=-a-12a，g(1a)=2-a-12a=2，
解得a=-22，与a＞-22矛盾．
情形5：当-12＜a＜0时，1a＜-2，
此时g（a）=a+2，g(1a)=2
由a+2=2解得a=2-2，与a＞-12矛盾．
情形6：当a＞0时，1a＞0，
此时g（a）=a+2，g(1a)=1a+2
由a+2=1a+2解得a=±1，由a＞0得a=1．
综上知，满足g(a)=g(1a)的所有实数a为：-2≤a≤-22，或a=1
解析
1+x考点
据考高分专家说，试题“设a为实数，设函数f(x)=a1-x2+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
