已知函数f=2x2-3x+1，g=ksin，．问α去何值时，方程f=α-sinx在[0，2π]上有两解；（2

题文

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=ksin（x-π6），（k≠0）．
（1）问α去何值时，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数k的取值范围？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化为2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=12
②当t=-1时，x有惟一解x=3π2
③当t=1时，x有惟一解x=π2
故a∈（1，5）或a=12；
（2）当x₁∈[0，3]时，f（x₁）值域为[-18，10]，
当x₂∈[0，3]时，x₂-π6∈[-π6，3-π6]，有sin（x₂-π6）∈[-12，1]
①当k＞0时，g（x₂）值域为[-12k，k]
②当k＜0时，g（x₂）值域为[k，-12k]
而依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
∴k＞010≤k-18≥-12k或  k＜010≤-12k-18≥k
∴k≥10或k≤-20．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。