题文
若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=f(x)x=1+4x在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函数，但g(x)x=x+4在（1，2）上不是减函数，
所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x2+a2•x+4的对称轴为x=-a22≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．
下面证明函数F（x）=h(x)x=x+4x+a2在（0，1]上是减函数．
设0＜x1＜x2≤1，
则F(x1)-F(x2)=(x1+4x1+a2)-(x2+4x2+a2)=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2，
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴F(x1)-F(x2)=(x1-x2)(x1x2-b)x1x2＞0，即F（x1）＞F（x2）．
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
解析
f(x)x考点
据考高分专家说，试题“若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
