已知a∈R，函数f=x2|x-a|．当a=2时，求使f=x成立的x的集合；求函数y=f在区间[1，2]上的最小值．

题文

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，f（x）=x²|x-2|
当x＜2时，由f（x）=x²（2-x）=x，解得x=0或x=1；
当x≥2时，由f（x）=x²（x-2）=x，解得x=1+2．
综上，所求解集为{0，1，1+2}
（Ⅱ）设此最小值为m．
①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x²-2ax=3x（x-23a）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，∴m=f（1）=1-a．
②当1＜a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x²|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²=3x（23a-x）．
若a≥3，在区间（1，2）上，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，则1＜23a＜2．
当1＜x＜23a时，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，23a]上的增函数，
当23a＜x＜2时，f'（x）＜0，则f（x）是区间[23a，2]上的减函数，
因此当2＜a＜3时，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤73时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
当73＜a＜3时，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
总上所述，所求函数的最小值m=1-a，a≤10，1＜a≤24(a-2)，2＜a≤73a-1，a＞73．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。