题文
设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．（1）用λ表示宣传画所用纸张面积S=f（λ）；
（2）判断函数S=f（λ）在（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）当λ取何值时，宣传画所用纸张面积S=f（λ）最小？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．所以纸张面积为S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，---------（2分）
将x=2210λ代入上式，得S=f（λ）=5000+4410（8λ+5λ）．----------（4分）
（2）设0＜λ1＜λ2≤58
则f(λ1)-f(λ2)=4410[8(λ1-λ2)+(5λ1-5λ2)]=
4410[8(λ1-λ2)+5λ1λ2(λ2-λ1)]=4410(λ1-λ2)(8-5λ1λ2)-----------（6分）
当0＜λ1＜λ2≤58时，λ1λ2＜58，∴5λ1λ2＞8，
∴8-5λ1λ2＜0，
∴f（λ1）-f（λ2）＞0，即f（λ1）＞f（λ2），
∴函数S=f（λ）在(0，58]上是减函数．
同理可证S=f（λ）在[58，+∞)上是增函数．-----------（8分）
（3）由（2）知，当λ∈(0，58]时，S=f（λ）是减函数，∴f(λ )≥f(58)
当λ∈[58，+∞)时，S=f（λ）是增函数，∴f(λ )≥f(58)；
∴当λ=58时，Smin=f(58)=6760cm2
答：λ=58时，使所用纸张面积最小为6760cm2-----------（10分）
解析
2210λ考点
据考高分专家说，试题“设计一幅宣传画，要求画面面积为4840c.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
