已知函数f(x)=2x-1mx+1，且f(3)=79．判断函数y=f在R上的单调性，并给出证明；若f＞f

题文

已知函数f(x)=2x-1mx+1（x∈R），且f(3)=79．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（2）若f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得23-1m3+1=79，m³=8，∴m=2…（3分）
∴f(x)=2x-12x+1=2x+1-22x+1=1-22x+1
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（4分）
则f(x2)-f(x1)=1-22x2+1-(1-22x1+1)…（6分）
=22x1+1-22x2+1=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)…（8分）
∵(2x1+1)＞0，(2x2+1)＞0，∴(2x1+1)(2x2+1)＞0
又∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0…（10分）
∴2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数．                       …（12分）
（2）∵f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），
由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴2×3^x-2＞7-3^x，…（14分）
化简得3^x＞3，…（15分）
∴x＞1，∴不等式f（2×3^x-2）＞f（7-3^x）的解集为（1，+∞）．   …（16分）

解析

23-1m3+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-1mx+1（x∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。