设二次函数y=f=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点在y=f的图象上，则点在函数g=f[

题文

设二次函数 y=f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-22)内是减函数，在（-22，0）内是增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（-∞，-22)内是减函数，在（-22，0）内是增函数，
而-22是函数的一个极小值点，F（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（-22）=0，解得λ=3，
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．

解析

22

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数y=f（x）=ax2+bx+c.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。