题文
已知函数f（x）是y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=-1x+2的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由y=210x+1-1（x∈R），得10x=1-y1+y，x=lg1-y1+y．∴f（x）=lg1-x1+x（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．
由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-1x+2的图象上，
∴y=1x+2，即g（x）=1x+2（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg1-x1+x+1x+2，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）设F（x）上不同的两点A（x1，y1），B（x2 y2），-1＜x1＜x2＜1
则y1-y2=F（x1）-F（x2）=lg1-x11+x1+1x1+2-lg1-x21+x2-1x2+2
=lg(1-x11+x1•1+x21-x2)+(1x1+2-1x2+2)
=lg(1+x21+x1•1-x11-x2)+x2-x1(x1+2)(x2+2)．
由-1＜x1＜x2＜1 得1+x21+x1＞1，1-x11-x2＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，
所以lg(1+x21+x1•1-x11-x2)＞0，x2-x1(x1+2)(x2+2)＞0，y1＞y2，
即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．
解析
210x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是y=210x+1-1（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
