题文
设函数f(x)=x+alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-lnxx，f/(x)=1-1-lnxx2=x2+lnx-1x2
令g（x）=x2+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+1x，
当x＞0时，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=g(x)x2＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=g(x)x2＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-ln11=1．
（3）f/(x)=1+a-alnxx2=x2-alnx+ax2，令h（x）=x2-alnx+a
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=2x2-ax=2(x-a2)(x+a2)x
当x∈(0，a2)时，h/（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈(a2，+∞)时，h/（x）＞0，h（x）是增函数；
所以当x=a2时，h（x）有极小值，也是最小值h(a2)=(32-lna2)a，
又由h（x）≥0得(32-lna2)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值为2e3．
解析
lnxx考点
据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x+alnxx，其中a为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
