对于函数f(x)=a-22x+1(a∈R)：　是否存在实数a使函数f为奇函数？　探究函数f的单调性，并求出函数f的值域

题文

对于函数f(x)=a-22x+1(a∈R)：
（Ⅰ） 是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（Ⅱ） 探究函数f（x）的单调性（不用证明），并求出函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）假设存在实数a函数f(x)=a-22x+1是奇函数，因为f（x）的定义域为R，
所以f（0）=a-1=0，所以a=1
此时f(x)=1-22x+1=2x-12x+1，则f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x)，
所以f（x）为奇函数
即存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-22x+1，因为2^x+1在R上递增，所以22x+1在R上递减，所以f(x)=1-22x+1在R上递增．
∵2^x+1＞1，
∴0＜22x+1＜2，
∴-1＜1-22x+1＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1）

解析

22x+1

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)=a-22x+1(a∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。