已知g是对数函数，且它的图象恒过点．f是二次函数，且不等式f＞0的解集是，且f=3．求g的解析式

题文

已知g（x）是对数函数，且它的图象恒过点（e，1）．f（x）是二次函数，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），且f（0）=3．
（1）求g（x）的解析式
（2）求f（x）的解析式；
（3）求y=f（x）-g（x）的单调递减区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），
由g（x）的图象过点（e，1），得1=log_ae，解得a=e，
所以g（x）=lnx；
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=3，得c=3，则f（x）=ax²+bx+3，
又f（x）＞0的解集是（-1，3），
所以-1、3是方程f（x）=0，即ax²+bx+3=0的两根，
所以-1×3=3a-1+3=-ba，解得a=-1b=2，
所以y=f（x）=-x²+2x+3；
（3）y=f（x）-g（x）=-x²+2x+3-lnx（x＞0），
y′=-2x+2-1x=-2x2-2x+1x，
对于x＞0恒有y′＜0，
所以y=f（x）-g（x）的单调递减区间为（0，+∞）．

解析

-1×3=3a-1+3=-ba

考点

据考高分专家说，试题“已知g（x）是对数函数，且它的图象恒过点.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。