如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax交于点O，A，直线x=t与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，A

题文

如图，已知曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C₁，C₂分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解析（1）由 y=x2y=-x2+2ax解得x=0y=0或x=ay=a2．
∴O（0，0），A（a，a²）．又由已知得B（t，-t²+2at），D（t，t²），
∴S=∫t0（-x²+2ax）dx-12t×t²+12（-t²+2at-t²）×（a-t）
=（-13x³+ax²）| t0-12t³+（-t²+at）×（a-t）=-13t³+at²-12t³+t³-2at²+a²t=16t³-at²+a²t．
∴S=f（t）=16t³-at²+a²t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=12t²-2at+a²，令f′（t）=0，即12t²-2at+a²=0．解得t=（2-2）a或t=（2+2）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+2）a应舍去．
若（2-2）a≥1，即a≥12-2=2+22时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a²-a+16．
若（2-2）a＜1，即1＜a＜2+22时，当0＜t＜（2-2）a时f′（t）＞0．当（2-2）a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2-2）a]上单调递增，在区间（（2-2）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2-2）a）=16[（2-2）a]³-a[（2-2）a]²+a²（2-2）a=22-23a³．

解析

y=x2y=-x2+2ax

考点

据考高分专家说，试题“如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。