已知函数f=log3x．若关于x的方程f•f=f的解都在区间内，求实数a的范围；若函数f

题文

已知函数f（x）=log₃x．
（Ⅰ）若关于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数f（x²-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（ax）f（ax²）=f（3），∴log₃^ax•log(ax2)3=log₃³，
∴（log₃a+log₃x）（log₃a+2log₃x）=1，∴2（log₃x）²+3log₃a•log₃x+log₃²a-1=0．
令t=log₃x，∵0＜x＜1，∴t＜0．∴方程2t²+3log₃a•t+log₃²a-1=0的两根为负．
∴△=（3log₃^a）²-8（log₃²a-1）≥0，t1+t2=-3log3a2＜0，
t1•t2=log32a-12＞0，∴a＞3．…（7分）
（Ⅱ）∵函数f（x²-2ax+3）=log₃（x²-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，
∴g（x）=x²-2ax+3在[2，+∞）上大于零且单调递增，
即g(2)＞0a≤2，∴0＜a＜74．…（12分）

解析

log(ax2)3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3x．（Ⅰ）若关.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。