已知f(x)=x-exa(a＞0)．判断曲线y=f在x=0的切线能否与曲线y=ex相切？并说明理由；若x∈[a，2a]求f的最大值；（Ⅲ

题文

已知f(x)=x-exa (a＞0)．
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e^x相切？并说明理由；
（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求证：x1x2＜ea． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由f(x)=x-exa (a＞0)，得：f′(x)=1-1aexa，则f′(0)=1-1a，f（0）=-1．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为y=(1-1a)x-1．
若l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），则ex0=1-1aex0=(1-1a)x0-1①．
由a＞0，得：0＜ex0=1-1a＜1，∴x₀＜0，
由①得x0=1+11-1a＞1．与x₀＜0矛盾．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e^x相切．
（Ⅱ）令f^′（x）=0，得1-1aexa=0，即x=alna．
由f^′（x）＞0，得x＜alna，由f^′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数．
∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）_max=f（a）=a-e．
当a≤alna≤2a，即e≤a≤e²时，f（x）_max=f（alna）=alna-a．
当2a＜alna，即a＞e²时，f(x)max=f(2a)=2a-e2．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．
∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x₂-x₁＞alna-a，又x1=ex1a，x2=ex2a，
∴x1x2=e1a(x1-x2)＜e1a(a-alna)=ea．

解析

xa

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=x-exa(a＞0)．（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。