题文
对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）-f（2k）=1，所以f（2），f（4），f（8），…f（2n）构成公差为1的等差数列，
令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2n）=4+（n-1）×1=n+3
（2）当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，即当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，所以f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]，
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=-2f（x）恒成立，当x∈[2k-1，2k）（k∈N*）时，x2k-1∈[1，2）
f（x）=-2f（x2）=4f（x4）=…=（-2）k-1f（x2k-1），
故当k为奇数时，f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[3×2k-1，2k+1]
当k为偶数时，f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[-2k+1，-3×2k-1]
所以当n=1时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为4，最小值为3．
当n为不小于3的奇数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为-2n
n为不小于2的偶数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1．
（3）（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立．即f（x）≤12f（2x）+1恒成立．
令x=12k，则得f（12k）≤12f(12k-1)+1
即f(12k)-2≤12[f(12k-1)-2]对一切k∈N*恒成立．
所以f(12n)-2≤12[f(12n-1)-2]≤14[f(12k-2)-2]≤…≤12n[f(1)-2]=12n故f（2-n）≤2-n+2（n∈N*）；
若x∈（0，1]），则必存在n∈N*，使得∈（12n，12n-1]，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（12n-1）≤12n-1+2
又2x+2＞2×12x+2=12x-1+2，故有f（x）＜2x+2
解析
x2k-1考点
据考高分专家说，试题“对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
