已知定义在R上的函数f同时满足：①f(0)=f(π4)=1；②f+f=2fcos2n+8sin2n．则f(π

题文

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①f(0)=f(π4)=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin²n（m，n∈R）．
则（1）f(π2+x)+f(x)=______；
（2）函数f（x）的最大值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得：f（π2+x）+f（x）=f[（π4+x）+π4]+f[（π4+x）-π4]=2f（π4+x）cosπ2+8sin²π4=8×（22）²=4；
（2）令m=π4，n=π4+x，
根据题意得：f（π4+π4+x）+f（π4-π4-x）=f（π2+x）+f（-x）
=2f（π4）cos（π2+2x）+8sin²（π4+x）=4-2sin2x（i），
又由（1）得f（π2+x）+f（x）=4（ii），
∴（ii）-（i）得：f（x）-f（-x）=4-（4-2sin2x）=2sin2x③，
令m=0，n=x，
根据题意得：f（0+x）+f（0-x）=f（x）+f（-x）=2cos2x+8sin²x=2cos2x+8×1-cos2x2=4-2cos2x④，
（③+④）÷2得：f（x）=2-（sin2x+cos2x）=2-2sin（2x+π4），
∵sin（2x+π4）∈[-1，1]，
∴f（x）的最大值为2+2．
故答案为：（1）4；（2）2+2

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）同时满足：①.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。