函数f满足：f=3f+f对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f＜0．求证：f=4f，f=3f

题文

函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0．
（I）求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（II）判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性并证明；
（III）若f（8）=-2，解不等式：f(log2x-2x2)+12f(log24x)＜-12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：令y=x，则f（4x）=4f（x）
令x=y=0，则f（0）=0
令y=0，则f（3x）=3f（x）
（II）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，以下证明：
任设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x1-x23×3+x₂）-f（x₂）=3f（x1-x23）
∵x₁-x₂＞0
∴f（x1-x23）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=-12
12f（log₂4x）=3f（4log₂4x）=3f（log₂x）
∴f(log2x-2x2)+12f(log24x)=f(log2x-2x2)+3f(log2x )
=f(log2x-2x2+3log2x  )=f（log₂[x（x-2）]）
∴f(log2x-2x2)+12f(log24x)＜-12⇔f（log₂[x（x-2）]）＜f（2）
⇔x＞0log2[x(x-2)]＞x-2＞02⇔x＞2x(x-2)＞4⇔x＞1+5
∴不等式的解集为x＞1+5

解析

x1-x23

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。