当x1≠x2时，有f＜f(x1)+f(x2)2，则称函数f是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是A．y=xB．y=|x|C

题文

当x₁≠x₂时，有f（x1+x22）＜f(x1)+f(x2) 2，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（ ）A．y=xB．y=|x|C．y=x²D．y=log₂x 题型：未知 难度：其他题型

答案

A、对于函数y=f（x）=x，当x₁≠x₂时，有f（x1+x22）=x1+x22，f(x1)+f(x2)2=x1+x22，
f（x1+x22）=f(x1)+f(x2)2，故不是严格下凸函数．
B、对于函数y=f（x）=|x|，当x₁≠x₂ ＞0时，f（x1+x22）=|x1+x22|=x1+x22，f(x1)+f(x2)2=|x1|+|x2|2=x1+x22，
f（x1+x22）=f(x1)+f(x2)2，故不是严格下凸函数．
C、对于函数 y=f（x）=x²，当x₁≠x₂时，有f（x1+x22）=(x1+x22)2=x12+2x1x2+x224，
f(x1)+f(x2)2=x12 +x222，显然满足f（x1+x22）＜f(x1)+f(x2) 2，故是严格下凸函数．
D、对于函数y=f（x）=log₂x，f（x1+x22）=log2x1+x22，f(x1)+f(x2)2=12(log2x1+log2x2)=log2x1•x2，
f（x1+x22）＞f(x1)+f(x2)2，故不是严格下凸函数．
故选C．

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“当x1≠x2时，有f（x1+x22）＜f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。