题文
设函数f(x)=log12x+1x-1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）是奇函数由x+1x-1＞0得x＞1或x＜-1，又f(-x)=log12-x+1-x-1=-f(x)，∴函数f（x）是奇函数
（2）不妨设u(x)=x+1x-1，1＜x1＜x2，则u(x1)-u(x2)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)，∵1＜x1＜x2，∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0，∴u(x1)-u(x2)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)＞0，∴u（x1）＞u（x2），
又f(x)=log12u(x)，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，等价于f(3)-(12)3＞m，解得m＜-98．
解析
x+1x-1考点
据考高分专家说，试题“设函数f(x)=log12x+1x-1．.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
