已知函数f=ln|x|，函数g=1f′(x)+af'当x≠0时，求函数y=g的表达式；若a＞0，函数y=

题文

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=1f′(x)+af'（x）（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=23x+76与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵fx=ln|x|，
∴当x＞0时，fx=lnx；当x＜0时，fx=ln-x
∴当x＞0时，f′x=1x；当x＜0时，f′x=1-x•-1=1x．
∴当x≠0时，函数y=gx=x+ax．
（2）∵由（1）知当x＞0时，gx=x+ax，
∴当a＞0，x＞0时，gx≥2a当且仅当x=a时取等号．
∴函数y=gx在0，+∞上的最小值是2a，∴依题意得2a=2∴a=1．
（3）由y=23x+76y=x+1x解得x1=32y1=136，x2=2y2=52
∴直线y=23x+76与函数y=gx的图象所围成图形的面积S=∫2 32[23x+76-x+1x]dx=724-ln3

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。