已知a∈R，函数f=-13x3+12ax2+2ax．当a=1时，求函数f的单调递增区间；函数f能否在R上单调递减，若是，

题文

已知a∈R，函数f （x）=-13x³+12ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-13x³+12x²+2x，
∴f'（x）=-x²+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递减，则f'（x）≤0对x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）能在R上单调递减；（10分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2对x∈[-1，1]都成立，即a≥x2x+2对x∈[-1，1]都成立．（12分）
令g（x）=x2x+2，则g'（x）=2x(x+2)-x2(x+2)2=x(x+4)(x+2)2．
当-1≤x＜0时，g'（x）＜0；当0≤x＜1时，g'（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增．
∵g（-1）=1，g（1）=13，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=-13x3+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。