已知函数f=x|x-2|．写出f的单调区间；解不等式f＜3；设0＜a≤2，求f在[0，a]上的最大值．

题文

已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）=x|x-2|=x2-2x=(x-1)2-1             x≥2-x2+2x=-(x-1)2+1         x＜2
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴x≤2 x2-2x -3＜0或x＜2x2-2x+3＞0，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3）  当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，
此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．

解析

x2-2x=(x-1)2-1             x≥2-x2+2x=-(x-1)2+1         x＜2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x-2|．（Ⅰ）写.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。