已知函数f=x2+ax+ax，且a＜1．当x∈[1，+∞）时，判断f的单调性并证明；在的条件下，若m满足f＞f

题文

已知函数f（x）=x 2+ax+ax，且a＜1．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）设函数g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并比较1x1+1x2与4的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题得：f（x）=x+ax+a，设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+ax1+a)-(x2+ax2+a)=x1-x2+ax1-ax2
=（x₁-x₂）(x1x2-a)x1x2，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，又a＜1，得x₁x₂-a＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，
要满足f（5-2m）＜f（3m）
只要1≤5-2m＜3m，
∴m的取值范围为：1＜m≤2．
（3）g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a=x²+kx+|x²-1|
g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
g（x）=kx+1，0＜x≤12x2+kx-1，1＜x＜2，
所以g（x）在（0，1]是单调函数，
故g（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂=-12＜0，
故不符题意，
因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由g（x₁）=0得k=-1x1，所以k≤-1；
由g（x₂）=0得k=1x2-2x2，所以-72＜k＜-1；
故当-72＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解．
方法一：因为0＜x₁≤1＜x₂＜2，
所以k=-1x1，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即1x1+1x2=2x2，因为x₂＜2，
所以1x1+1x2＜4．
方法二：由g（x₁）=0得x₁=-1k，
由2x²+kx-1=0得x=-k±k2+84；
因为x₂∈（1，2），所以x₂=-k+k2+84．
则1x1+1x2=-k+-k+k2+84=12(k2+8-k)．
而y=12(k2+8-k)=4k2+8​+k在(-72，-1)上是减函数，
则12(k2+8-k)＜12((-72)2+8+72)=4．
因此，1x1+1x2＜4．

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax+ax，且a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。