题文
已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数，且f(2)=-53．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），即px2+2q+3x=-px2+2q-3x（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)=-53，
所以f(2)=4p+2-6=-53，解得p=2．
故所求解析式为f(x)=2x2+2-3x．（6分）
（Ⅱ）由（1）得f(x)=2x2+2-3x=-23(x+1x)．
设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=23[(x2+1x2)-(x1+1x1)]═23(x1-x2)×1-x1x2x1x2．（10分）
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
从而得到f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）
解析
px2+2q+3x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
