题文
已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数．（1）如果函数y=x+2bx（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+cx2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+ax和y=x2+ax2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+1x)n+(1x2+x)n（n是正整数）在区间[12，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数y=x+2bx（x＞0）的最小值是22b，则22b=6，∴b=log29．
（2）设0＜x1＜x2，y2-y1=x22+cx22-x21-cx21=(x22-x21)(1-cx21•x22)．
当4c＜x1＜x2时，y2＞y1，函数y=x2+cx2在[4c，+∞）上是增函数；
当0＜x1＜x2＜4c时y2＜y1，函数y=x2+cx2在（0，4c]上是减函数．
又y=x2+cx2是偶函数，于是，
该函数在（-∞，-4c]上是减函数，在[-4c，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=xn+axn（常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y=xn+axn在（0，2na]上是减函数，在[2na，+∞）上是增函数，
在（-∞，-2na]上是增函数，在[-2na，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y=xn+axn在（0，2na]上是减函数，在[2na，+∞）上是增函数，
在（-∞，-2na]上是减函数，在[-2na，0）上是增函数；
F（x）=(x2+1x)n+(1x2+x)n
=C0n(x2n+1x2n)+C1n(x2n-2+1x2n-3)+…+Crn(x2n-3r+1x2n-3r)+…+Cnn(xn+1xn)，
因此F（x）在[12，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
所以，当x=12或x=2时，F（x）取得最大值（92）n+（94）n；
当x=1时F（x）取得最小值2n+1；
解析
2bx考点
据考高分专家说，试题“已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
