已知函数f(x)=ax2-24+2b-b2•x，g(x)=-1-(x-a)2(a，b∈R)．当b=0时，若f在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围

题文

已知函数f(x)=ax2-24+2b-b2•x，g(x)=-1-(x-a)2(a， b∈R)．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在（-∞，2]上单调递减，符合题意；（3分）
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，
必须满足a＞0 42a≥2（5分）
∴0＜a≤1．综上所述，a的取值范围是[0，1]（6分）
（2）若a=0，f(x)=-24+2b-b2x，则f（x）无最大值，（7分）
故a≠0，∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足a＜0            4+2b-b2≥0即a＜0且1-5≤b≤1+5，（8分）
此时，x0=4+2b-b2a时，f（x）有最大值．（9分）
又g（x）取最小值时，x₀=a，（10分）
依题意，有4+2b-b2a=a∈Z，则a2=4+2b-b2=5-(b-1)2，（11分）
∵a＜0且1-5≤b≤1+5，∴0＜a2≤5(a∈Z)，得a=-1，（12分）
此时b=-1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）
（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x²-2x∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，（14分）
又当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）

解析

a＞0 42a≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2-24+2b-b.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。