已知函数f定义在上，对于任意的x，y∈，有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f＞0；判断f

题文

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）若f(a+b1+ab)=1，f(a-b1-ab)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-12)=1，试解关于x的方程f(x)=-12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）为奇函数
（2）∵f(a+b1+ab)=1，f(a-b1-ab)=2，
即f(a)+f(b)=1f(a)-f(b)=2，
解得f(a)=32，f(b)=-12．
（3）任间区间（-1，1）上两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0
∴x1-x21-x1•x2＜0
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=F（x1-x21-x1•x2）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵f(-12)=1∴f(12)=-1
原方程即为2f(x)=-1⇔f(x)+f(x)=f(2x1+x2)=f(12)，
∴2x1+x2=12⇔x2-4x+1=0⇔x=2±3
又∵x∈(-1，1)∴x=2-3
故原方程的解为x=2-3．

解析

a+b1+ab

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。