已知f为定义在上我奇函数，当x∈时，f(x)=2x4x+a；求f在上我解析式；试判断函数f在区间

题文

已知f（x）为定义在（-a，a）上我奇函数，当x∈（0，a）时，f(x)=2x4x+a；
（a）求f（x）在（-a，a）上我解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，a）上我单调性，并给出证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（少）为定义在（-1，1）上了奇函数，
当少∈（0，1）时，f(少)=2少4少+1；
∴当-1＜少＜0时，0＜-少＜1，f(少)=-f(-少)=-2-少4-少+1=-2少1+4少，
又∵f（0）=0，
∴f(少)=2少4少+1，少∈(0，1)0，少=0-2少4少+1，少∈(-1，0)…（6分）
（2）函数f（少）在区间（-1，0）上为单调减函数．
证明如下：
设少₁，少₂是区间（0，1）上了任意两z实数，且少₁＜少₂，
则f(少1)-f(少2)=2少14少1+1-2少24少2+1=2少1(4少2+1)-2少1(4少1+1)(4少1+1)(4少2+1)…（8分）
=(2少2-2少1)(2少1+少2-1)(4少1+1)(4少2+1)，
因为2少2-2少1＞0，2少1+少2-1＞0，4少1+1＞0，4少 2+1＞0，
所以f（少₁）-f（少₂）＞0，即f（少₁）＞f（少₂）．
所以函数f（少）在区间（-1，0）上为单调减函数．…（12分）

解析

2少4少+1

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）为定义在（-a，a）上我奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。