定义运算a*b=a(a≤b)b(a＞b)，例如，1*2=1，则函数f=x2*的最大值为______．

题文

定义运算a*b=a (a≤b)b (a＞b)，例如，1*2=1，则函数f（x）=x²*（1-|x|）的最大值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知
∵a*b=a (a≤b)b (a＞b)
∴函数f（x）=x²*（1-|x|）可化简为：f(x)=x2(x2≤1-|x|)1-|x|(x2＞1-|x|)
令t=|x|得：f(t)=t2(t2≤1-t)1-t(t2＞1-t)
∴要求原分段函数的最大值，只需求f(t)=t2(t2≤1-t)1-t(t2＞1-t)的最大值
即：f(t)=t2(0≤ t≤-1+52)1-t(t＞-1+52)
又∵函数f（t）在区间[0，-1+52]上单调递增函数，在区间（-1+52，+∞）上单调递减函数，
∴f（t）的最大值在t=-1+52时取得，即f(t)max=f(-1+52)=3-52
故答案为：3-52．

解析

a (a≤b)b (a＞b)

考点

据考高分专家说，试题“定义运算a*b=a(a≤b)b(a＞b).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。