题文
已知函数f（x）=loga1-mxx-1在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以loga1-mxx-1=loga-x-11+mx，…（2分）
即1-m2x2=1-x2对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m2=1，m=±1，…（4分）
由于1-mxx-1＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=loga1+xx-1，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）=loga1+xx-1，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分）
则f（x1）-f（x2）=loga1+x1x1-1-loga1+x2x2-1=loga（2x1-1+1）-loga（2x2-1+1）…（9分）
由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以2x1-1+1＞2x2-1+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分）
【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）=…=…，得出f（x1）＞f（x2）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga1+a-2a-2-1=logaa-1a-3=1，即a-1a-3=a，…（16分）
所以a=2+3且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）
解析
1-mxx-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
