仔细阅读下面问题的解法：设A=[0，1]，若不等式21-x-a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．由已知可得a＜21-x令f=21-x，不等式a＜21-x

题文

仔细阅读下面问题的解法：
设A=[0，1]，若不等式2^1-x-a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．
由已知可得  a＜2^1-x
令f（x）=2^1-x，不等式a＜2^1-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）_max=f（0）=2
∴a＜2即为所求．
学习以上问题的解法，解决下面的问题：
（1）已知函数f（x）=x²+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函数及反函数的定义域A；
（2）对于（1）中的A，设g（x）=10-x10+xx∈A，试判断g（x）的单调性；（不证）
（3）又若B={x|10-x10+x＞2^x+a-5}，若A∩B≠Φ，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上单调递减
∴f（x）∈[2，3]
故反函数的定义域A=[2，3]（2分）
令x+1=-y-2，x=-1-y-2
∴f^-1（x）=-1-x-2  x∈[2，3]（4分）
（2）g（x）=10-x10+x=-1+2010+x  x∈[2，3]
g（x）在x∈[2，3]上单调递减           （8分）
（3）由A∩B≠Φ，⇒不等式10-x10+x＞2^x+a-5在集合A上有解，
亦即不等式a＜10-x10+x-2^x+5在集合A上有解，（10分）
令函数h（x）=10-x10+x-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，⇒a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=-1+2010+x-2^x+5=2010+x-2^x+4 在区间A上单调递减
h（x）_max=g（2）=53⇒a＜53
⇒实数a的取值范围为（-∞，53）                               （12分）

解析

y-2

考点

据考高分专家说，试题“仔细阅读下面问题的解法：设A=[0，1].....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。