已知函数f(x)=2+1a-1a2x，实数a∈R且a≠0．设mn＞0，判断函数f在[m，n]上的单调性，并说明理由；设0＜m＜n且a＞0

题文

（理）已知函数f(x)=2+1a-1a2x，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设m≤x₁＜x₂≤n，则f(x1)-f(x2)=-1a2x1+1a2x2=x1-x2a2x1x2，
∵mn＞0，m≤x₁＜x₂≤n，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），因此函数f（x）在[m，n]上的单调递增．
（2）由（1）及f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+1a-1a2x=x的两个不相等的正数根，
等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正数根，
即△=(2a2+a)2-4a2＞0且x1+x2=2a2+aa2＞0且x1x2=1a2＞0，
解得a＞12，∴n-m=1a4a2+4a-3=-3(1a-23)2+163，
∵a∈(12，+∞)，∴a=32时，n-m最大值为433．
（3）a2f(x)=2a2+a-1x，则不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，
即-2x≤2a2+a-1x≤2x即不等式对x≥1恒成立，
令h（x）=2x+1x，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g(x)=1x-2x[1，+∞）递减．
∴h（x）_min=h（1）=3，g（x）_max=g（1）=-1，
∴2a2+a≤32a2+a≥-1∴-32≤a≤1且a≠0

解析

1a2x1

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知函数f(x)=2+1a-1a2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。