题文
己知向量a=(2sinx2，1-2cosx2)，b=(cosx2，1+2cosx2)，函数f(x)=log12（a•b）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵a•b=2sinx2cosx2+(1-2cosx2)(1+2cosx2)=sinx+1-2cos2x2=sinx-cosx=2sin(x-π4)．
由sin(x-π4)＞0，
得2kπ＜x-π4＜2kπ+π，
即2kπ+π4＜x＜2kπ+5π4，k∈Z．
∴f（x）的定义域是(2kπ+π4，2kπ+5π4)，k∈Z．
∵0＜2sin(x-π4)≤2，则f(x)≥log122=-12，
∴f（x）的值域是[-12，+∞)．
（Ⅱ）由题设f(x)=log122sin(x-π4)．
若f（x）为增函数，则y=2sin(x-π4)为减函数，
∴2kπ+π2≤x-π4＜2kπ+π，
即2kπ+3π4≤x＜2kπ+5π4，
∴f（x）的递增区间是[2kπ+3π4，2kπ+5π4)，k∈Z．
若f（x）为减函数，则y=2sin(x-π4)为增函数，
∴2kπ＜x-π4≤2kπ+π2，即2kπ+π4＜x≤2kπ+3π4，
∴f（x）的递减区间是(2kπ+π4，2kπ+3π4]，k∈Z．
解析
a考点
据考高分专家说，试题“己知向量a=(2sinx2，1-2cos.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
