在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f=•x在R上是增函数；　②若a2-b2=（acosB+bcosA

题文

在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数； ②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值为-2； ④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=3π4，其中正确命题的序号是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵a＞b，根据正弦定理得sinA＞sinB，
∴f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数，故正确；
②∵a²-b²=（acosB+bcosA）²
∴a²-b²=（acosB+bcosA）²=a²cos²B+2abcosBcosA+b²cos²A，
整理得a²sin²B=2abcosBcosA+b²（1+cos²A），
即sin²Asin²B=2sinAsinBcosBcosA+sin²B（1+cos²A），
sinA（sinAsinB-cosBcosA）=sinB+cosA（sinAcosB+sinBcosA）
sinAcosC=sinB+cosAsinC，∴sin（A-C）=sin（A+C），
∴A-C+A+C=π，即A=π2，故△ABC是Rt△；正确；
③cosC+sinC=2sin(c+π4)，
∵0＜C＜π，∴π4＜C+π4＜5π4
∴cosC+sinC∈(- 1，2 ]，故cosC+sinC的最小值为-2；错；
④∵cosA=cosB，且0＜A、B＜π，y=cosx在[0，π]上单调递减，
∴A=B；故正确；
⑤∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2，即tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1
∴tan（A+B）=1，∴A+B=kπ+π4，故错；
故①②④正确．
故答案为：①②④

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。