已知函数f=lnx，g=2x-2．试判断函数F=f-g在[1，+∞）上的单调性；当0＜a＜b时，求证：函数

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断函数F（x）=（x²+1）f （x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f（x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于2a(b-a)a2+b2（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
（3）方程f（x）=1ex-2ex是否存在实数根？说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵F（x）=（x²+1）lnx-2x+2．
∴F′（x）=2xlnx+x2+1x-2=2xlnx+(x-1)2x．
∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x=1时F′（x）=0
∴F（x）在（1，+∞）上单调递增（4分）
（2）∵0＜a＜b，f（x）在[a，b]上的值域为[lna，lnb]
∴要证值域的长度大于2a(b-a)a2+b2，
即证lnb-lna＞2a(b-a)a2+b2
只要证lnba＞2(ba-1)1+(ba)2
∵0＜a＜b，
∴ba＞1，令ba=x
则只要证lnx＞2(x-1)1+x2（x＞1）
即证（x²+1）lnx-（2x-2）＞0（※）
由（1）可知F（x）在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0
所以（※）式成立．
∴f（x）在[a，b]上的值域的长度大于2a(b-a)a2+b2．（9分）
（3）∵f（x）=1ex-2ex⇔xlnx=xex-2e (x＞0)
令h（x）=xlnx（x＞0）．则h′（x）=lnx+1
当x∈（0，1e）时h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1e，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）_min=h（1e）=-1e．
令空集（x）=xex-2e(x＞0)，则∅′(x)=1-xex，
当x∈（0，1），空集'（x）＞0，空集（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，空集'（x）＜0，空集（x）单调递减．
∴C（x）_max=∅(1)=-1e
所以方程f（x）=1ex-2ex没有实根（13分）

解析

x2+1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。