设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(a＞0)为奇函数，且|f(x)|min=22，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，an+1=f(an)-an2

题文

设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(a＞0)为奇函数，且|f(x)|min=22，数列{a_n}与{b_n}满足如下关系：a1=2，an+1=f(an)-an2，bn=an-1an+1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）记S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：对任意的n∈N^*有Sn＜n+32. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）是奇函数，得b=c=0，
由|f(x)|min=22，得a=2，故f(x)=2x2+1x.
（2）∵an+1=f(an)-an2=a2n+12an
∴bn+1=an+1-1an+1+1=a2n+12an-1a2n+12an+1=a2n-2an+1a2n+2an+1=(an-1an+1)2=b2n
∴bn=b2n-1=b4n-2═b2n-11，
而b1=13，∴bn=(13)2n-1
（3）证明：由（2）an-1an+1=(13)2n-1⇒an=1+(13)2n-11-(13)2n-1=32n-1+132n-1-1=1+232n-1-1
要证明的问题即为2321-1-1+2322-1-1++232n-1-1＜32
当n=1时，2^n-1=n
当n≥2时，2^n-1=（1+1）^n-1≥C_n-1⁰+C_n-1¹=n∴2^n-1≥n
则32n-1≥3n=3×3n-1=2×3n-1+3n-1≥2×3n-1+1
故232n-1-1≤(13)n-1
则2321-1-1+2322-1-1++232n-1-1≤1+13+(13)2++(13)n-1=[1-(13)n]1-13
=32-32(13)n＜32得证．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。