已知二次函数y=f的图象经过原点，且f=f+x-1．求f的表达式．设F=4f+3a2x-1（a＞0且a≠1

题文

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，
∴-(2a-b)=b+1a-b=-1，解得a=-12，b=12．
∴f(x)=-12x2+12x．
（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，
①当a＞1时，令t=a^x，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[1a，a]，
∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，t∈[1a，a]，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在[1a，a]上是增函数．
∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，1a]，
∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，1a]，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，1a]上是增函数．
∴g(1a)=(1a)2+2a-1=14，∴1a=3，1a=-5（舍），∴a=13，
综上a=13或a=3．

解析

-(2a-b)=b+1a-b=-1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。