题文
已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…．（Ⅰ）若a1=1，a2=3，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{an}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥p2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数p． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即an+1-a1=an+2-a2，
亦即an+2-an-1=a2-a1=2．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是an=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得an+2-a2=q（an+1-a1），
即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以an+2an+1=a2a1=q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
（Ⅲ）（理科）
由题意得p≤12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)对n∈N*恒成立
记F(n)=12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)，
则F(n+1)F(n)=12n+3(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)(1+1an+1)12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)=2n+2(2n+1)(2n+3)=2(n+1)4(n+1)2-1＞2(n+1)2(n+1)=1
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为F(1)=233，
∴p≤233，
即pmax=233．
解析
an+2an+1考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，记A（n.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
