题文
已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax（a∈R）．（1）求f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，证明：ln23•ln34•…•lnnn+1＜1n． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x-ax(x＞0)F′(x)=1x-1+ax2=-x2+x+ax2（1分）
当△=1+4a≤0，
即a≤-14时，F′（x）≤0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递减（2分）
当△=1+4a＞0，即a＞-14时，
F′(x)=0，x1=-1+4a+12，x2=1+4a+12，
①-14＜a≤0时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（0，+∞）（3分）
②a＞0时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（x1，x2），
单调减区间为（0，x1），（x2，+∞）（5分）
综上：①a≤-14时，F（x）在（0，+∞）上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）
②-14＜a≤0时，
x1≤0，x2＞0，
单调增区间为（0，x2），单调减区间为（x2，+∞）
③a＞0时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（x1，x2），，单调减区间为（0，x1），（x2，+∞）
（2）lnx≤x+ax恒成立，
等价于a≥[xlnx-x2]max（6分）
k（x）=xlnx-x2，k′（x）=1+lnx-2x，
[k′(x)]′=1x-2＜0
k′（x）在[1，+∞）上单调递减，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以k（x）的最大值为k（1）=-1，所以a≥-1（18分）
（3）证法一：由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-1x恒成立
所以n∈N*，n≥2时，有lnn＜n-1n⇒lnnn+1＜n-1n（10分）
所以ln23＜12，
ln34＜23，
lnnn+1＜n-1n相乘得ln23•ln34••lnnn+1＜1n（12分）
方法二：数学归纳法
①当n=2时，显然成立（9分）
②假设n=k（n∈N*，n≥2）成立，即ln23•ln34••lnkk+1＜1k
那么当n=k+1时，ln23•ln34••lnkk+1•ln(k+1)k+2＜1k•ln(k+1)k+2
下面只需证1k•ln(k+1)k+2＜1k+1，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）
设t=k+1≥3，所以设k（t）=tlnt-t2+1
由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-1x恒成立，
即k（t）=tlnt-t2++1＜0在t=k+1≥3恒成立，所以ln23•ln34••lnkk+1•ln(k+1)k+2＜1k+1
综合（1）（2）命题成立（12分）
解析
ax考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
