已知函数f(x)=ax+x-2x+1，求证：函数f在上为增函数；方程f=0没有负数根．

题文

已知函数f(x)=ax+x-2x+1（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ax1+x1-2x1+1-ax2-x2-2x2+1
=ax1-ax2+x1-2x1+1-x2-2x2+1=ax1-ax2+3(x1-x2)(x1+1)(x2+1)，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴3(x1-x2)(x1+1)(x2+1)＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则ax0+x0-2x0+1=0，
即ax0=2-x0x0+1=3-(x0+1)x0+1=3x0+1-1，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴3x0+1＞3，
∴3x0+1-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴3x0+1＜0，∴3x0+1-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．

解析

x1-2x1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+x-2x+1（a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。